Irrationele getallen zijn getallen die niet kunnen worden uitgedrukt als de verhouding van twee hele getallen. Dit staat in tegenstelling tot rationele getallen, zoals 2, 7, een vijfde en -13/9, die kunnen worden en worden uitgedrukt als de verhouding van twee hele getallen. Wanneer ze worden uitgedrukt als een decimaal, gaan irrationele getallen voor altijd door na de komma en worden ze nooit herhaald.
Wie heeft irrationele cijfers bedacht?
De Griekse wiskundige Hippasus van Metapontum wordt gecrediteerd met het ontdekken van irrationele getallen in de 5e eeuw voor Christus, volgens een artikel van de Universiteit van Cambridge. Terwijl hij aan een apart probleem werkte, zou Hippasus struikelen over het feit dat een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de twee basiszijden 1 eenheid lang zijn, een hypotenusa heeft die √2 is, wat een irrationeel getal is. (Dit kan worden aangetoond met behulp van de beroemde stelling van Pythagoras van a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2.)
Als beloning voor zijn grote ontdekking zegt de legende dat Hippasus in zee werd gegooid. Dit komt omdat hij lid was van de Pythagoreeërs, een quasi-religieuze orde die geloofde dat "Alles is nummer" en dat het universum is gemaakt uit hele getallen en hun verhoudingen. Verstoord door de ontdekking van Hippasus, veroordeelde de groep hem ter dood door verdrinking.
De angst voor irrationele getallen nam later af en ze werden uiteindelijk opgenomen in de wiskunde. Samen vormen rationele en irrationele getallen de reële getallen, waaronder elk getal op de getallenlijn en zonder het imaginaire getal i.
De meeste reële cijfers zijn irrationeel. De Duitse wiskundige Georg Cantor heeft dit in de 19e eeuw definitief bewezen, wat aantoont dat de rationele getallen telbaar zijn, maar de reële getallen niet te tellen. Dat betekent dat er meer reals dan rationals zijn, volgens een website over geschiedenis, wiskunde en andere onderwerpen van educatieve cartoonist Charles Fisher Cooper. Aangezien irrationele getallen al die reële getallen zijn die niet rationeel zijn, wegen de irrationelen veel zwaarder dan de rationelen; ze vormen alle resterende, ontelbare reële getallen.
Beroemde irrationele cijfers:
De vierkantswortel van 2
Ondanks het lot van Hippasus is √2 een van de bekendste irrationele getallen en wordt het soms de constante van Pythagoras genoemd, volgens de website Wolfram MathWorld.
De constante van Pythagoras is gelijk aan 1.4142135623 ... (de stippen geven aan dat het voor altijd doorgaat).
Dat klinkt misschien allemaal theoretisch, maar het aantal heeft ook heel concrete toepassingen. Internationale papierformaten bevatten √2. De definitie van de A-papierformaatreeks van de International Organization for Standardization (ISO) 216 stelt dat de lengte van het vel gedeeld door de breedte 1.4142 moet zijn. Dit zorgt ervoor dat een stuk A1-papier, dat in tweeën wordt gedeeld door de breedte, twee A2-stukken papier oplevert. Verdeel een A2 opnieuw doormidden en er worden twee A3-vellen papier gemaakt, enzovoort.
Pi
Pi is de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter. Wiskundigen weten al over pi sinds de tijd van de oude Babyloniërs, 4000 jaar geleden.
Pi is gelijk aan 3.1415926535 ...
Bepaalde pi-superfans zijn er trots op zoveel mogelijk cijfers van pi te onthouden. Suresh Kumar Sharma, uit India, behaalde het wereldrecord in 2015 door 70.030 cijfers van pi te onthouden, volgens de Pi World Ranking List.
Phi
Phi staat ook bekend als de gulden snede. Je kunt het vinden door een stok te nemen en deze in twee delen te breken; als de verhouding tussen deze twee delen hetzelfde is als de verhouding tussen de totale stok en het grotere segment, zouden de delen de gulden snede hebben.
Phi is gelijk aan 1.6180339887 ...
Door de eeuwen heen is er veel kennis opgebouwd over het concept van phi, zoals het idee dat het perfecte schoonheid vertegenwoordigt of in de natuur te vinden is. Maar het meeste is fout. Phi is nauw verbonden met de Fibonacci-reeks, een andere bron van veel misvattingen.
e
De basis van natuurlijke logaritmen wordt e genoemd vanwege zijn naamgenoot, de 18e-eeuwse Zwitserse wiskundige Leonhard Euler.
e is gelijk aan 2.7182818284 ...
Naast het verschijnen in logaritmen, verschijnt e in vergelijkingen met complexe getallen en exponentiële groei. Net zoals Pi Day wordt gevierd op 14 maart (3/14), wordt e Day gevierd op 7 februari (2/7) of 27 januari (27/1), afhankelijk van het kalendersysteem dat je gebruikt.
