Er is een nieuw grootste bekende priemgetal in het universum.
Het heet M77232917 en het ziet er zo uit:
Ondanks dat het een belachelijk groot aantal is (alleen dat tekstbestand, dat lezers hier kunnen downloaden, neemt meer dan 23 megabytes aan ruimte op een computer in beslag), kan M77232917 niet worden opgedeeld zonder breuken te gebruiken. Het breekt niet in gehele getallen, ongeacht welke andere factoren, groot of klein, iemand deelt het door. De enige factoren zijn zichzelf en het nummer 1. Dat is wat het priemgetal maakt.
Dus hoe groot is dit nummer? Een volledige 23.249.425 cijfers lang - bijna 1 miljoen cijfers langer dan de vorige recordhouder. Als iemand zou beginnen met het opschrijven, 1.000 cijfers per dag, vandaag (8 januari), zouden ze eindigen op 19 september 2081, volgens een aantal berekeningen van het servet bij WordsSideKick.com.
Gelukkig is er een eenvoudigere manier om het getal te schrijven: 2 ^ 77.232.917 min 1. Met andere woorden, het nieuwe grootste bekende priemgetal is een minder dan 2 keer 2 keer 2 keer 2 ... enzovoort 77.232.917 keer.
Dit is niet echt een verrassing. Primes die een minder dan een macht van 2 zijn, behoren tot een speciale klasse, genaamd Mersenne-priemgetallen. Het kleinste Mersenne-priemgetal is 3, omdat het priemgetal is en ook minder dan 2 keer 2. Zeven is ook een Mersenne-priemgetal: 2 keer 2 keer 2 minus 1. Het volgende Mersenne-priemgetal is 31 - of 2 ^ 5-1.
Deze Mersenne prime, 2 ^ 77,232,917-1, verscheen eind december 2017 in de Great Internet Mersenne Primes Search (GIMPS) - een enorm samenwerkingsproject waarbij computers over de hele wereld betrokken zijn. Jonathan Pace, een 51-jarige elektrotechnisch ingenieur woonachtig in Germantown, Tennessee, die 14 jaar aan GIMPS heeft deelgenomen, krijgt de eer voor de ontdekking die op zijn computer opdook. Vier andere GIMPS-jagers die vier verschillende programma's gebruikten, verifieerden de prime in zes dagen, volgens de aankondiging van 3 GIMPS op 3 januari.
Mersenne-priemgetallen krijgen hun naam van de Franse monnik Marin Mersenne, zoals de wiskundige Chris Caldwell van de University of Tennessee op zijn website uitlegde. Mersenne, die leefde van 1588 tot 1648, stelde voor dat 2 ^ n-1 priemgetal was wanneer n gelijk is aan 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 en 257, en niet priemgetal voor alle andere getallen minder dan 257 (2 ^ 257-1).
Dit was een redelijk goede poging om een antwoord te krijgen van een monnik die drie en een halve eeuw werkte voordat de moderne prime-solving-software aan het werk was - en een grote verbetering ten opzichte van schrijvers vóór 1536, die geloofden dat 2 elk priemgetal met zichzelf vermenigvuldigde minus 1 zou prime zijn. Maar het klopte niet helemaal.
Mersenne's grootste nummer, 2 ^ 257-1 - ook geschreven als 231.584.178.474.632.390.847.141.970.017.375.815.706.539.969.331.281.128.078.915.168.015.826.259.279.871, is niet echt priemgetal. En hij miste er een paar: 2 ^ 61-1, 2 ^ 89-1 en 2 ^ 107-1 - hoewel de laatste twee pas in het begin van de 20e eeuw werden ontdekt. Toch dragen 2 ^ n-1 priemgetallen de naam van de Franse monnik.
Deze cijfers zijn om een paar redenen interessant, hoewel ze niet bijzonder nuttig zijn. Een grote reden: elke keer dat iemand een Mersenne-prime ontdekt, ontdekken ze ook een perfect nummer. Zoals Caldwell uitlegde, is een perfect getal een getal dat gelijk is aan de som van al zijn positieve delers (behalve zichzelf).
Het kleinste perfecte getal is 6, wat perfect is omdat 1 + 2 + 3 = 6 en 1, 2 en 3 allemaal de positieve delers van 6 zijn. De volgende is 28, wat gelijk is aan 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Daarna volgt 494. Een ander perfect getal verschijnt pas in 8.128. Zoals Caldwell opmerkte, zijn deze bekend sinds 'vóór de tijd van Christus' en hebben ze spirituele betekenis in bepaalde oude culturen.
Het blijkt dat 6 ook kan worden geschreven als 2 ^ (2-1) x (2 ^ 2-1), 28 kan worden geschreven als 2 ^ (3-1) x (2 ^ 3-1), 494 is gelijk aan 2 ^ (5-1) x (2 ^ 5-1) en 8.128 is ook 2 ^ (7-1) x (2 ^ 7-1). Zie je het tweede deel van die uitdrukkingen? Dat zijn allemaal priemgetallen van Mersenne.
Caldwell schreef dat de 18e-eeuwse wiskundige Leonhard Euler bewees dat twee dingen waar zijn:
- "k is een even perfect getal als en alleen als het de vorm 2n-1 (2n-1) heeft en 2n-1 een priemgetal is."
- "Als 2n-1 priem is, dan is dat ook n."
In lekentermen betekent dit dat elke keer dat een nieuwe Mersenne-prime verschijnt, ook een nieuw perfect nummer.
Dat geldt ook voor M77232917, hoewel het perfecte aantal heel erg groot is. De perfecte tweeling van de grote prime, GIMPS vermeld in zijn verklaring, is gelijk aan 2 ^ (77,232,917-1) x (2 ^ 77,232,917-1). Het resultaat is 46 miljoen cijfers lang:
(Interessant is dat alle bekende perfecte getallen even zijn, inclusief deze, maar geen enkele wiskundige heeft bewezen dat een vreemde niet kon bestaan. Caldwell schreef dat dit een van de oudste onopgeloste mysteries in de wiskunde is.)
Dus hoe zeldzaam is deze ontdekking?
M77232917 is een enorm aantal, maar het is slechts de 50ste bekende Mersenne-prime. Het is misschien niet de 50e Mersenne in numerieke volgorde; GIMPS heeft geverifieerd dat er geen Mersennes ontbreken tussen 3 en de 45e Mersenne (2 ^ 37.156.667-1, ontdekt in 2008), maar de bekende Mersennes 46 tot en met 50 hebben mogelijk een aantal onbekende, tussenliggende Mersennes overgeslagen die nog niet zijn ontdekt.
GIMPS is verantwoordelijk voor alle 16 Mersennes die zijn ontdekt sinds het werd gemaakt in 1996. Deze priemgetallen zijn nog niet strikt "nuttig", voor zover niemand er een nut voor heeft gevonden. Maar de website van Caldwell stelt dat de glorie van ontdekking reden genoeg zou moeten zijn, hoewel GIMPS heeft aangekondigd dat Pace een prijs van $ 3.000 zal ontvangen voor zijn ontdekking. (Als iemand een priemgetal van 100 miljoen cijfers ontdekt, is de prijs $ 150.000 van de Electronic Frontiers Foundation. Het eerste 1 miljard-cijferige priemgetal is $ 250.000 waard.)
Op de lange termijn, schreef Caldwell, zou het ontdekken van meer priemgetallen wiskundigen kunnen helpen een diepere theorie te ontwikkelen over wanneer en waarom priemgetallen voorkomen. Maar op dit moment weten ze het gewoon niet, en het is aan programma's zoals GIMPS om te zoeken met rauwe rekenkracht.
