NEW YORK - Ondanks dat het al meer dan 2000 jaar bestaat, is het concept van oneindigheid blijven bestaan als een raadselachtig en vaak uitdagend idee voor wiskundigen, natuurkundigen en filosofen. Bestaat oneindigheid echt, of maakt het slechts deel uit van het weefsel van onze verbeelding?
Een panel van wetenschappers en wiskundigen kwam bijeen om enkele van de diepgaande vragen en controverses rond het concept van oneindigheid hier vrijdag (31 mei) te bespreken, als onderdeel van het World Science Festival, een jaarlijkse viering en verkenning van de wetenschap.
Een deel van de moeilijkheid bij het oplossen van enkele van de abstracte vragen met betrekking tot oneindigheid is dat deze problemen verder gaan dan de meer gevestigde wiskundige theorieën, zei William Hugh Woodin, een wiskundige aan de University of California, Berkeley.
'Het lijkt een beetje op wiskunde die op een stabiel eiland leeft - we hebben er een solide basis voor gebouwd', zei Woodin. 'Dan is er daar nog het wilde land. Dat is oneindig.'
Waar het allemaal begon
Een filosoof genaamd Zeno van Elea, die leefde vanaf 490 voor Christus. tot 430 voor Christus, wordt gecrediteerd met het introduceren van het idee van oneindigheid.
Het concept werd bestudeerd door oude filosofen, waaronder Aristoteles, die zich afvroegen of er oneindig kon bestaan in een schijnbaar eindige fysieke wereld, zei Philip Clayton, decaan van de Claremont School of Theology aan de Claremont Lincoln University in Claremont, Californië. Theologen, waaronder Thomas Aquinas, gebruikte het oneindige om de relatie tussen mensen, God en de natuurlijke wereld uit te leggen.
In de jaren 1870 pionierde een Duitse wiskundige, Georg Cantor, met baanbrekend werk dat bekend werd als verzamelingenleer. Volgens de verzamelingenleer vormen gehele getallen, die getallen zijn zonder een breuk of decimale component (zoals 1, 5, -4), een oneindige verzameling die telbaar is. Aan de andere kant maken reële getallen, waaronder gehele getallen, breuken en zogenaamde irrationele getallen, zoals de vierkantswortel van 2, deel uit van een oneindige verzameling die niet te tellen is.
Dit bracht Cantor ertoe zich af te vragen over verschillende soorten oneindigheid.
'Als er nu twee soorten oneindigheid zijn - de telbare soort en deze continue soort, die groter is - zijn er dan andere oneindigheden? Is er een oneindigheid die tussen hen in zit ingeklemd?' zei Steven Strogatz, een wiskundige aan de Cornell University in Ithaca, N.Y.
Cantor was van mening dat er geen oneindigheden bestaan tussen de reeksen gehele getallen en reële getallen, maar hij heeft het nooit kunnen bewijzen. Zijn verklaring werd echter bekend als de continuümhypothese en wiskundigen die het probleem in de voetsporen van Cantor aanpakten, werden bestempeld als theoretici.
Verder verkennen
Woodin is een set-theoreticus en heeft zijn hele leven geprobeerd de continuümhypothese op te lossen. Tot op heden hebben wiskundigen Cantors postulatie niet kunnen bewijzen of weerleggen. Een deel van het probleem is dat het idee dat er meer dan twee soorten oneindigheid zijn zo abstract is, zei Woodin.
'Er is geen satelliet die je kunt bouwen om de continuümhypothese te meten', legde hij uit. 'Er is niets in onze wereld om ons heen dat ons kan helpen bepalen of de continuümhypothese waar of niet waar is, voor zover we weten.'
Lastiger is nog dat sommige wiskundigen de relevantie van dit soort wiskundig werk hebben afgewezen.
'Deze mensen in de verzamelingenleer vinden ons, zelfs in wiskunde, een beetje vreemd', grapte Strogatz. Maar hij zei dat hij het belang begrijpt van het werk dat door set-theoretici wordt gedaan, want als de continuümhypothese onjuist blijkt te zijn, zou dit de wiskundige basisprincipes kunnen ontwrichten op dezelfde manier dat tegenstrijdige getaltheorie de basis voor wiskunde en natuurkunde zou wegvagen.
'We weten dat ze heel diep, belangrijk werk doen, en in principe is het fundamenteel werk', legde Strogatz uit. 'Ze schudden de basis waar we allemaal aan werken, op de tweede en derde verdieping. Als ze iets verknoeien, kan dat ons omverwerpen.'
De toekomst van wiskunde
Toch, ondanks alle onzekerheden, kan het werk van verzameltheoretici positieve rimpeleffecten hebben die de basis van de wiskunde versterken, zei Woodin.
'Door oneindigheid te onderzoeken, en voor zover we succesvol kunnen zijn, denk ik dat we pleiten voor de consistentie van rekenen,' legde hij uit. 'Dat is een beetje een fanatieke verklaring, maar als oneindigheid niet tot een tegenspraak leidt, leidt het eindige zeker niet tot een tegenspraak. Dus misschien, door de uiterlijke gebieden te verkennen om te zien of er een tegenspraak is, krijg je wat veiligheid."
De paradoxen die het concept van oneindigheid kenmerken, worden misschien het best verklaard met het getal pi, zei Strogatz. Pi, een van de meest herkenbare wiskundige constanten, vertegenwoordigt de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter. Onder zijn talloze toepassingen kan pi worden gebruikt om het gebied van een cirkel te vinden.
"Pi is typisch voor echte getallen ... in die zin dat het deze oneindige hoeveelheid onvoorspelbare informatie bevat, en tegelijkertijd zo totaal voorspelbaar is", zei Strogatz. "Er is niets ordelijker dan een cirkel die pi belichaamt - het is het symbool van orde en perfectie. Dus dit naast elkaar bestaan van perfecte voorspelbaarheid en orde, met dit verleidelijke mysterie van oneindig enigma ingebouwd in hetzelfde object, maakt deel uit van het plezier van ons onderwerp en, denk ik, de oneindigheid zelf. '
